2025年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)（三）

歡迎參加本次考試，請仔細(xì)閱讀考生注意事項并按要求作答。

1. 考生信息：

考生姓名：

考生注意事項：1.答題前，考生須在答題卡指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應(yīng)題號的選項上，非選擇題的答案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題冊上答題無效。3.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆記清楚；涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂。4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

一、選擇題（每小題5分，共50分。下列每題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的。）

2. 當(dāng)x=0時，下列無窮小量中，與x等價的是

e^x - 1√(1 - cosx)1 - cos√(2x)1 - ln(1 + x)/x

3. 已知函數(shù)f(x) = ∫?? e^t sin t dt，g(x) = ∫?? e^t sin t dt - ∫?? t dt，則

x=0是f(x)的極值點，也是g(x)的極值點x=0是f(x)的極值點，(0,0)是曲線y=g(x)的拐點x=0是f(x)的極值點，(0,0)是曲線y=f(x)的拐點(0,0)是曲線y=f(x)的極值點，也是曲線y=g(x)的拐點

4. 已知k為常數(shù)，則級數(shù)∑?=1^∞ (-1)^n (1 - cos(k/n))

絕對收斂條件收斂發(fā)散斂散性與k的取值有關(guān)

5. 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則∫?? f(x)f(a - x)dx =

∫?? f(x)dx∫?? f(a - x)f(x)dx∫?? f(a - x)dx∫?? (a - x)f(x)dx

6. 已知A是m×n矩陣，β是m維非零列向量。若A有k階非零子式，則

當(dāng)k=m時，Ax=β有解當(dāng)k=m時，Ax=β無解當(dāng)k < m時，Ax=β有解當(dāng)k < m時，Ax=β無解

7. 設(shè)A為3階矩陣，則“A2 + A可對角化”是“A可對角化”的

充分但不必要條件必要但不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件

8. 設(shè)矩陣A = [[1, -1], [2, a]]，B = [[2, 1], [4, 3]]，若f(x, y) = x?A?B A y是正定二次型，則a的取值范圍是

(0, 2 - √3)(2 - √3, 2 + √5)(2 - √3, 4)(0, 4)

9. 設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(-1, 1)，Y服從正態(tài)分布N(1, 2)，若X與X + 2Y不相關(guān)，則X與X - Y的相關(guān)系數(shù)為

1/23/4-1/2-3/4

10. 設(shè)X?,X?,…,X?是來自總體B(10, p)的簡單隨機樣本。令T = ∑?=1? X?，利用泊松分布近似表示二項分布的方法可得P(T ≤ 1) ≈

e^(-10np)(1 + 10np)e^(-np)(1 + np)e^(-10n)(1 + 10n)e^(-n)(1 + n)

11. 設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，X?,X?,…,X?為來自總體X的簡單隨機樣本，樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)為F?(x)。對于給定的x(0 < F(x) < 1)，D(F?(x)) =

F(x)(1 - F(x))(F(x))2F(x)(1 - F(x))/n(F(x))2/n

二、填空題（每小題5分，共30分。）

12. 設(shè)g(x)是函數(shù)f(x) = (2x + 1)/(x - 1)的反函數(shù)，則曲線y = g(x)的漸近線方程為

13. 設(shè)∫?2 1/(x(2x + a)) dx = ln2，則a =

14. 微分方程xy' - y + x2e^x = 0滿足條件y(1) = -e的解為y =

15. 已知函數(shù)z = z(x, y)由z + ln z - ∫?? e^(-t2) dt = 1確定，則?z/?x|(0,0) =

16. 已知f(x) = |2x - 1| + |2x + 1|，g(x) = 4x2 + 1，則方程f(x) = g(x)的不同的根的個數(shù)為

17. 設(shè)A,B,C為三個隨機事件，且A與B相互獨立，B與C相互獨立，A與C互不相容。已知P(A) = P(C) = 1/4，P(B) = 1/2，則在事件A,B,C至少有一個發(fā)生的條件下，A,B,C中恰有一個發(fā)生的概率為

三、解答題（共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

18. 計算∫1/(x + 1)(x2 - 2x + 2) dx

19. 設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim(x→0) [x f(x) - e^x + 1]/[ln(1 + x) - ln(1 - x)] = -3，證明f(x)在x=0處可導(dǎo)，并求f'(0)

20. 已知平面有界區(qū)域D = {(x,y)|x2 + y2 ≤ 4x, x + y ≤ 4}，計算∫∫_D (x - y)2 dxdy

21. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。證明：導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加的充分必要條件是：對(a,b)內(nèi)任意的x?,x?,x?，當(dāng)x? < x? < x?時，有[f(x?) - f(x?)]/(x? - x?) < [f(x?) - f(x?)]/(x? - x?)

22. 設(shè)矩陣A = [[3, 0, -1], [0, 1, a], [1, 2, 2]]的秩為2。(1)求a的值；(2)求A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組α,β，并求矩陣H，使得A = (α,β)H

23. 投保人的損失事件發(fā)生時，保險公司的賠付額Y與投保人的損失額X的關(guān)系為Y = 0, x ≤ 100; Y = X - 100, x > 100。設(shè)損失事件發(fā)生時，投保人的損失額X的概率密度為f(x) = 2×1002/(100 + x)3, x > 0; f(x) = 0, x ≤ 0。(1)求P(Y > 0)及EY；(2)這種損失在一年內(nèi)發(fā)生的次數(shù)記為N，保險公司在一年內(nèi)就這種損失事件產(chǎn)生的理賠次數(shù)記為M。假設(shè)N服從參數(shù)為8的泊松分布，在N = n(n ≥ 1)的條件下，M服從二項分布B(n,p)，其中p = P(Y > 0)，求M的概率分布

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